Trouver Le Projeté Orthogonal D’Un Point Sur Une Droite
Vous êtes-vous déjà demandé comment trouver le point le plus proche d’une droite à partir d’un point donné ? Cette opération mathématique est appelée « trouver le projeté orthogonal d’un point sur une droite ». Dans cet article, nous allons explorer cette notion et vous montrer comment la résoudre.
Définition du Projeté Orthogonal
Le projeté orthogonal d’un point A sur une droite D est le point B sur D tel que la distance entre A et B est la plus courte possible. En d’autres termes, c’est le point sur D qui est le plus proche de A.
Comment Trouver le Projeté Orthogonal
Il existe plusieurs méthodes pour trouver le projeté orthogonal d’un point sur une droite. Nous allons vous présenter la méthode la plus courante, qui utilise l’algèbre linéaire.
Soit A(x1, y1) un point et D une droite définie par l’équation Ax + By + C = 0. Le projeté orthogonal de A sur D est le point B(x2, y2) qui satisfait les équations suivantes :
- x2 = x1 – tA
- y2 = y1 – tB
où t est un paramètre qui peut être déterminé en résolvant l’équation suivante :
- Ax2 + By2 + C = 0
Exemples
Voici quelques exemples de calcul de projetés orthogonaux :
- Trouver le projeté orthogonal du point A(1, 2) sur la droite D définie par l’équation 2x + 3y – 5 = 0.
- Trouver le projeté orthogonal du point B(3, -2) sur la droite E définie par l’équation x – y + 1 = 0.
- Trouver le projeté orthogonal du point C(4, 5) sur la droite F définie par l’équation y = 2x – 1.
Applications du Projeté Orthogonal
Le projeté orthogonal a de nombreuses applications pratiques, notamment en géométrie, en physique et en ingénierie.
Par exemple, en géométrie, le projeté orthogonal est utilisé pour trouver la distance entre un point et une droite, ainsi que pour déterminer si un point se trouve sur une droite ou non.
En physique, le projeté orthogonal est utilisé pour résoudre des problèmes de mouvement et de collision. Par exemple, on peut utiliser le projeté orthogonal pour déterminer la trajectoire d’un projectile lancé à un angle donné.
En ingénierie, le projeté orthogonal est utilisé pour concevoir des structures et des machines. Par exemple, on peut utiliser le projeté orthogonal pour déterminer la forme d’une aile d’avion ou d’une lame de turbine.
Trouver le projeté orthogonal d’un point sur une droite est une compétence mathématique fondamentale qui a de nombreuses applications pratiques. En comprenant cette notion, vous serez en mesure de résoudre de nombreux problèmes mathématiques et scientifiques.
Trouver Le Projeté Orthogonal D’Un Point Sur Une Droite
Point clé :
- Distance minimale
Le projeté orthogonal d’un point sur une droite est le point sur la droite qui est le plus proche du point donné. La distance entre le point et son projeté orthogonal est la plus courte distance possible entre le point et la droite.
Distance minimale
La distance minimale est la distance la plus courte possible entre un point et une droite. Le projeté orthogonal d’un point sur une droite est le point sur la droite qui est le plus proche du point donné. Par conséquent, la distance entre le point et son projeté orthogonal est la distance minimale entre le point et la droite.
- Définition : La distance minimale entre un point A et une droite D est la longueur du segment de droite qui relie A au point de D le plus proche de A.
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Propriétés :
- La distance minimale entre un point et une droite est toujours positive.
- La distance minimale entre un point et une droite est nulle si et seulement si le point se trouve sur la droite.
- La distance minimale entre un point et une droite est égale à la longueur de la projection orthogonale du vecteur directeur de la droite sur le vecteur qui relie le point à un point quelconque de la droite.
- Calcul : La distance minimale entre un point A(x1, y1) et une droite D définie par l’équation Ax + By + C = 0 peut être calculée à l’aide de la formule suivante :
$$d = \frac{|Ax1 + By1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$
où d est la distance minimale entre A et D.
Exemple : Soit A(1, 2) un point et D la droite définie par l’équation 2x + 3y – 5 = 0. La distance minimale entre A et D peut être calculée comme suit :
$$d = \frac{|2(1) + 3(2) – 5|}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{1}{\sqrt{13}} \approx 0,27$$
Donc, la distance minimale entre A et D est d ≈ 0,27.
La distance minimale est un concept important en géométrie et a de nombreuses applications dans divers domaines, tels que la physique, l’ingénierie et l’informatique.
