Trouver Le Projeté Orthogonal D'Un Point Sur Un Plan

Trouver Le Projeté Orthogonal D’Un Point Sur Un Plan

Bonjour à tous ! Aujourd’hui, nous allons parler de quelque chose appelé “le projeté orthogonal d’un point sur un plan”. C’est un concept qui peut être un peu difficile à saisir au début, mais je vais essayer de vous l’expliquer de manière simple et claire.

Qu'est-ce que le projeté orthogonal d'un point sur un plan ?

Le projeté orthogonal d’un point sur un plan est le point de ce plan qui est le plus proche du point donné. En d’autres termes, c’est le point qui se trouve sur la ligne droite qui passe par le point donné et qui est perpendiculaire au plan.

Comment trouver le projeté orthogonal d'un point sur un plan ?

Il existe plusieurs méthodes pour trouver le projeté orthogonal d’un point sur un plan. L’une des méthodes les plus courantes consiste à utiliser la projection orthogonale. Pour ce faire, vous devez :

Déterminer l’équation du plan.
Déterminer l’équation de la droite qui passe par le point donné et qui est perpendiculaire au plan.
Résoudre le système d’équations pour trouver les coordonnées du point d’intersection de la droite et du plan.

Exemples

Voici quelques exemples de comment trouver le projeté orthogonal d’un point sur un plan :

Exemple 1 : Trouver le projeté orthogonal du point (1, 2, 3) sur le plan x + y + z = 6.
Solution : L’équation du plan est x + y + z = 6. La droite qui passe par le point (1, 2, 3) et qui est perpendiculaire au plan est donnée par les équations x = 1 + t, y = 2 + t, z = 3 – t. En résolvant le système d’équations, on trouve que le projeté orthogonal du point (1, 2, 3) sur le plan x + y + z = 6 est le point (2, 3, 1).
Exemple 2 : Trouver le projeté orthogonal du point (2, -1, 4) sur le plan 2x – y + z = 5.
Solution : L’équation du plan est 2x – y + z = 5. La droite qui passe par le point (2, -1, 4) et qui est perpendiculaire au plan est donnée par les équations x = 2 + 2t, y = -1 – t, z = 4 + 3t. En résolvant le système d’équations, on trouve que le projeté orthogonal du point (2, -1, 4) sur le plan 2x – y + z = 5 est le point (6, -4, 13).

Conclusion

Voilà, j’espère que vous avez compris ce qu’est le projeté orthogonal d’un point sur un plan et comment le trouver. Si vous avez des questions, n’hésitez pas à me les poser dans les commentaires.

Et n’oubliez pas, les mathématiques sont partout autour de nous !