Montrer Qu'Un Point Est Le Projeté Orthogonal

Montrer qu’un point est le projeté orthogonal d’un autre point

Montrer qu’un point est le projeté orthogonal d’un autre point est une tâche courante en géométrie. Il existe plusieurs méthodes pour le faire, et le choix de la méthode dépend de la situation spécifique.

Méthode 1

Si vous connaissez les coordonnées des deux points, vous pouvez utiliser la formule suivante pour déterminer si le premier point est le projeté orthogonal du deuxième point :

$$(x_1, y_1) = (x_2, y_2) + t(x_3 – x_2, y_3 – y_2)$$

où :

• (x_1, y_1) sont les coordonnées du premier point
• (x_2, y_2) sont les coordonnées du deuxième point
• (x_3, y_3) sont les coordonnées d’un troisième point sur la droite passant par les deux premiers points
• t est un scalaire

Si l’équation ci-dessus est satisfaite pour un certain t, alors le premier point est le projeté orthogonal du deuxième point.

Méthode 2

Vous pouvez également utiliser le produit scalaire pour déterminer si le premier point est le projeté orthogonal du deuxième point. Le produit scalaire de deux vecteurs est défini comme suit :

$$(x_1, y_1) \cdot (x_2, y_2) = x_1 x_2 + y_1 y_2$$

Si le produit scalaire de deux vecteurs est nul, alors les deux vecteurs sont orthogonaux. Par conséquent, si le produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{P_1P_2}$ et $\overrightarrow{P_2P_3}$ est nul, alors le point P_1 est le projeté orthogonal du point P_2 sur la droite passant par les points P_2 et P_3.

Méthode 3

Enfin, vous pouvez également utiliser les angles pour déterminer si le premier point est le projeté orthogonal du deuxième point. Si l’angle entre les vecteurs $\overrightarrow{P_1P_2}$ et $\overrightarrow{P_2P_3}$ est de 90 degrés, alors le point P_1 est le projeté orthogonal du point P_2 sur la droite passant par les points P_2 et P_3.

Problèmes

Voici quelques problèmes liés à la projection orthogonale :

• Montrer que le projeté orthogonal d’un point sur un plan est le point le plus proche du point sur le plan.
• Montrer que la projection orthogonale d’une droite sur un plan est la droite qui passe par le point le plus proche de la droite sur le plan et qui est parallèle à la droite.
• Montrer que la projection orthogonale d’un plan sur un autre plan est le plan qui passe par le point le plus proche du plan sur l’autre plan et qui est parallèle au plan.

Conclusion

Montrer qu’un point est le projeté orthogonal d’un autre point est une tâche courante en géométrie. Il existe plusieurs méthodes pour le faire, et le choix de la méthode dépend de la situation spécifique. Les méthodes les plus courantes utilisent les coordonnées, le produit scalaire ou les angles.

Montrer Qu’Un Point Est Le Projeté Orthogonal

Points importants à retenir :

• Utiliser les coordonnées, le produit scalaire ou les angles.
• Déterminer si le point est le projeté orthogonal du deuxième point.

Ces points vous aideront à comprendre et à résoudre les problèmes liés à la projection orthogonale.

Utiliser les coordonnées, le produit scalaire ou les angles.

Voici quelques détails sur chaque méthode :

• Coordonnées :

  Cette méthode est utile lorsque vous connaissez les coordonnées des deux points. Vous pouvez utiliser la formule suivante pour déterminer si le premier point est le projeté orthogonal du deuxième point :
  $$(x_1, y_1) = (x_2, y_2) + t(x_3 – x_2, y_3 – y_2)$$

• Produit scalaire :

  Cette méthode est utile lorsque vous ne connaissez pas les coordonnées des deux points. Le produit scalaire de deux vecteurs est nul si et seulement si les deux vecteurs sont orthogonaux. Par conséquent, si le produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{P_1P_2}$ et $\overrightarrow{P_2P_3}$ est nul, alors le point P_1 est le projeté orthogonal du point P_2 sur la droite passant par les points P_2 et P_3.

• Angles :

  Cette méthode est utile lorsque vous voulez déterminer si le premier point est le projeté orthogonal du deuxième point sans utiliser de calculs. Si l’angle entre les vecteurs $\overrightarrow{P_1P_2}$ et $\overrightarrow{P_2P_3}$ est de 90 degrés, alors le point P_1 est le projeté orthogonal du point P_2 sur la droite passant par les points P_2 et P_3.

Chaque méthode a ses propres avantages et inconvénients. La méthode des coordonnées est la plus précise, mais elle peut être difficile à utiliser si vous ne connaissez pas les coordonnées des deux points. La méthode du produit scalaire est plus facile à utiliser, mais elle n’est pas aussi précise que la méthode des coordonnées. La méthode des angles est la plus simple à utiliser, mais elle n’est pas aussi précise que les deux autres méthodes.

Déterminer si le point est le projeté orthogonal du deuxième point.

Voici quelques étapes à suivre pour déterminer si le point P_1 est le projeté orthogonal du point P_2 sur la droite passant par les points P_2 et P_3 :

• Étape 1 : Calculer le vecteur $\overrightarrow{P_2P_3}$.

  Ce vecteur est donné par la formule suivante :
  $\overrightarrow{P_2P_3} = (x_3 – x_2, y_3 – y_2)$

• Étape 2 : Calculer le vecteur $\overrightarrow{P_1P_2}$.

  Ce vecteur est donné par la formule suivante :
  $\overrightarrow{P_1P_2} = (x_1 – x_2, y_1 – y_2)$

• Étape 3 : Calculer le produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{P_2P_3}$ et $\overrightarrow{P_1P_2}$.

  Le produit scalaire de deux vecteurs est donné par la formule suivante :
  $\overrightarrow{P_2P_3} \cdot \overrightarrow{P_1P_2} = (x_3 – x_2)(x_1 – x_2) + (y_3 – y_2)(y_1 – y_2)$

• Étape 4 : Vérifier si le produit scalaire est nul.

  Si le produit scalaire est nul, alors le point P_1 est le projeté orthogonal du point P_2 sur la droite passant par les points P_2 et P_3. Sinon, le point P_1 n’est pas le projeté orthogonal du point P_2 sur la droite passant par les points P_2 et P_3.

Voici un exemple pour illustrer ces étapes :

Soient les points P_1(1, 2), P_2(3, 4) et P_3(5, 6). Déterminons si le point P_1 est le projeté orthogonal du point P_2 sur la droite passant par les points P_2 et P_3.

Étape 1 : Calculer le vecteur $\overrightarrow{P_2P_3}$.
$\overrightarrow{P_2P_3} = (5 – 3, 6 – 4) = (2, 2)$

Étape 2 : Calculer le vecteur $\overrightarrow{P_1P_2}$.
$\overrightarrow{P_1P_2} = (1 – 3, 2 – 4) = (-2, -2)$

Étape 3 : Calculer le produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{P_2P_3}$ et $\overrightarrow{P_1P_2}$.
$\overrightarrow{P_2P_3} \cdot \overrightarrow{P_1P_2} = (2)(-2) + (2)(-2) = -8$

Étape 4 : Vérifier si le produit scalaire est nul.
Le produit scalaire n’est pas nul, donc le point P_1 n’est pas le projeté orthogonal du point P_2 sur la droite passant par les points P_2 et P_3.