Salut à tous les passionnés de géométrie ! Aujourd’hui, on va parler d’un sujet fascinant : déterminer le projeté orthogonal d’un point sur un plan. C’est un concept clé en géométrie analytique, alors accrochez-vous bien !
Définition du projeté orthogonal
Commençons par définir ce qu’est le projeté orthogonal d’un point sur un plan. Imaginez un point A dans l’espace et un plan P. Le projeté orthogonal de A sur P est le point B sur le plan P tel que la droite AB est perpendiculaire au plan P. En d’autres termes, B est le point le plus proche de A sur le plan P.
Propriétés du projeté orthogonal
Il existe quelques propriétés importantes à connaître concernant le projeté orthogonal :
- Le projeté orthogonal d’un point sur un plan est unique.
- La distance entre le point et son projeté orthogonal sur le plan est la distance la plus courte entre le point et le plan.
- Si le point est sur le plan, alors son projeté orthogonal est lui-même.
- Si une droite est perpendiculaire à un plan, alors le projeté orthogonal de n’importe quel point de la droite sur le plan se trouve sur la droite.
Coordonnées du projeté orthogonal
Pour trouver les coordonnées du projeté orthogonal d’un point A(x1, y1, z1) sur un plan P donné par l’équation Ax + By + Cz + D = 0, on peut utiliser la formule suivante :
x_B = x_A – ((Ax_A + By_A + Cz_A + D)/A^2 + B^2 + C^2)) * A
y_B = y_A – ((Ax_A + By_A + Cz_A + D)/A^2 + B^2 + C^2)) * B
z_B = z_A – ((Ax_A + By_A + Cz_A + D)/A^2 + B^2 + C^2)) * C
Exemples
Voici quelques exemples pour illustrer le concept de projeté orthogonal :
- Si on a un point A(1, 2, 3) et un plan P donné par l’équation x + y – z = 0, alors le projeté orthogonal de A sur P est le point B(2, 1, 1).
- Si on a un point A(0, 0, 5) et un plan P donné par l’équation z = 0, alors le projeté orthogonal de A sur P est le point B(0, 0, 0).
- Si on a un point A(2, 3, 4) et un plan P donné par l’équation x + 2y + 3z = 12, alors le projeté orthogonal de A sur P est le point B(1, 2, 3).
Voilà , j’espère que cet article vous a permis de mieux comprendre le concept de projeté orthogonal d’un point sur un plan. C’est un outil mathématique puissant qui a de nombreuses applications dans des domaines tels que la géométrie, la physique et l’ingénierie. Alors, n’oubliez pas de l’utiliser la prochaine fois que vous avez besoin de déterminer la distance entre un point et un plan !
Éminer le projeté orthogonal d’un point sur un plan
Quelques points importants :
- Distance minimale
- Perpendiculaire au plan
…
Distance minimale
En géométrie, la distance minimale entre un point et un plan est la distance entre le point et son projeté orthogonal sur le plan. En d’autres termes, c’est la distance la plus courte entre le point et le plan.
Cette distance minimale a de nombreuses applications dans différents domaines, notamment :
- En architecture : pour déterminer la distance entre un bâtiment et une route ou une autre structure.
- En ingénierie : pour calculer la distance entre un point de support et une surface.
- En informatique : pour déterminer la distance entre deux objets dans un espace 3D.
Pour trouver la distance minimale entre un point A(x1, y1, z1) et un plan P donné par l’équation Ax + By + Cz + D = 0, on peut utiliser la formule suivante :
Distance = |Ax1 + By1 + Cz1 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)
où |.| désigne la valeur absolue.
Cette formule peut être démontrée en utilisant le théorème de Pythagore et la définition du projeté orthogonal.
Perpendiculaire au plan
En géométrie, une droite ou un segment est perpendiculaire à un plan si et seulement si cette droite ou ce segment est perpendiculaire à tous les vecteurs du plan. En d’autres termes, l’angle entre la droite ou le segment et le plan est de 90 degrés.
Dans le cas du projeté orthogonal, la droite qui relie le point et son projeté orthogonal est perpendiculaire au plan. Cela signifie que la distance entre le point et son projeté orthogonal est la plus courte distance possible entre le point et le plan.
Cette propriété est très utile dans de nombreux domaines, notamment :
- En architecture : pour déterminer l’angle entre un bâtiment et une route ou une autre structure.
- En ingénierie : pour calculer l’angle entre deux surfaces.
- En informatique : pour déterminer l’angle entre deux objets dans un espace 3D.
Pour déterminer si une droite ou un segment est perpendiculaire à un plan, on peut utiliser le produit scalaire. Si le produit scalaire de la droite ou du segment et du vecteur normal au plan est nul, alors la droite ou le segment est perpendiculaire au plan.
