Coordonnées Du Projeté Orthogonal D'Un Point Sur Un Plan

Salut les amis ! Aujourd’hui, on va parler d’un concept mathématique qui s’appelle “Coordonnées du projeté orthogonal d’un point sur un plan”. Ça peut paraître un peu compliqué au premier abord, mais je vais essayer de vous l’expliquer de manière simple et claire.

Définition

En géométrie, on parle de “coordonnées du projeté orthogonal d’un point sur un plan” pour désigner les coordonnées du point où une droite perpendiculaire à un plan rencontre ce plan.

Angle droit et perpendiculaire

Un angle droit est un angle de 90 degrés, c’est-à-dire un angle qui forme un carré. Une droite perpendiculaire à un plan est une droite qui forme un angle droit avec ce plan.

Coordonnées cartésiennes

Les coordonnées cartésiennes sont un système de coordonnées qui permet de localiser un point dans un plan à l’aide de deux nombres, appelés abscisse et ordonnée. L’abscisse est la distance entre le point et l’axe des X, et l’ordonnée est la distance entre le point et l’axe des Y.

Calcul des coordonnées du projeté orthogonal

Pour calculer les coordonnées du projeté orthogonal d’un point sur un plan, on peut utiliser la formule suivante :

X_p = X – d * (X – X₀) / √((X – X₀)² + (Y – Y₀)²)

Y_p = Y – d * (Y – Y₀) / √((X – X₀)² + (Y – Y₀)²)

où :

• (X, Y) sont les coordonnées du point donné
• (X₀, Y₀) sont les coordonnées du point de projection sur le plan
• d est la distance entre le point donné et le plan

Exemples

Prenons quelques exemples pour illustrer le concept :

• Si on a un point (3, 4) et un plan d’équation z = 2x + 3y – 5, les coordonnées du projeté orthogonal du point sur le plan sont (2, 1).
• Si on a un point (-2, 5) et un plan d’équation z = x – 2y + 1, les coordonnées du projeté orthogonal du point sur le plan sont (-3, 3).

Applications

Le concept de “Coordonnées du projeté orthogonal d’un point sur un plan” est utilisé dans de nombreux domaines, notamment en géométrie, en algèbre linéaire et en calcul vectoriel. Il est également utilisé dans des applications pratiques, comme l’architecture, l’ingénierie et la conception.

Voilà, j’espère que vous avez compris ce qu’est le “Coordonnées du projeté orthogonal d’un point sur un plan”. Si vous avez des questions, n’hésitez pas à les poser dans les commentaires !

Coordonnées Du Projeté Orthogonal D’Un Point Sur Un Plan

Points importants :

• Point perpendiculaire
• Calcul géométrique

Ces deux points sont essentiels pour comprendre le concept de “Coordonnées du projeté orthogonal d’un point sur un plan”.

Point perpendiculaire

En géométrie, un point perpendiculaire est un point qui se trouve sur une droite perpendiculaire à un plan. Dans le contexte des “Coordonnées du projeté orthogonal d’un point sur un plan”, le point perpendiculaire est le point où une droite perpendiculaire à un plan rencontre ce plan.

• Point projeté

  Le point projeté est le point où la droite perpendiculaire au plan rencontre le plan. C’est le point dont on cherche les coordonnées.

Le point perpendiculaire est important pour déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d’un point sur un plan. En effet, une fois que l’on connaît le point perpendiculaire, on peut utiliser la formule donnée précédemment pour calculer les coordonnées du point projeté.

Par exemple, si on a un point (3, 4) et un plan d’équation z = 2x + 3y – 5, le point perpendiculaire est (2, 1). On peut ensuite utiliser la formule pour calculer les coordonnées du projeté orthogonal, qui sont (2, 1).

Calcul géométrique

Le calcul géométrique des coordonnées du projeté orthogonal d’un point sur un plan peut être effectué en utilisant la formule suivante :

X_p = X – d * (X – X₀) / √((X – X₀)² + (Y – Y₀)²)

Y_p = Y – d * (Y – Y₀) / √((X – X₀)² + (Y – Y₀)²)

où :

• (X, Y) sont les coordonnées du point donné
• (X₀, Y₀) sont les coordonnées du point de projection sur le plan
• d est la distance entre le point donné et le plan

Cette formule peut être utilisée pour calculer les coordonnées du projeté orthogonal d’un point sur un plan dans n’importe quel système de coordonnées cartésiennes.

Voici un exemple concret :

Soit un point A(3, 4) et un plan Π d’équation z = 2x + 3y – 5.

1. Tout d’abord, il faut calculer la distance d entre le point A et le plan Π. On peut utiliser la formule suivante :

d = |AX| = |(3, 4, 0) – (2, 1, -5)| = √((3 – 2)² + (4 – 1)² + (0 – (-5))²) = √(1² + 3² + 5²) = √35

2. Ensuite, il faut calculer les coordonnées du point de projection A’ de A sur le plan Π. On peut utiliser la formule suivante :

X’ = X – d * (X – X₀) / √((X – X₀)² + (Y – Y₀)²)

Y’ = Y – d * (Y – Y₀) / √((X – X₀)² + (Y – Y₀)²)

Dans ce cas, (X₀, Y₀) = (0, 0) (car l’origine est un point du plan Π) et d = √35.

Donc, X’ = 3 – √35 * (3 – 0) / √((3 – 0)² + (4 – 0)²) = 2

Y’ = 4 – √35 * (4 – 0) / √((3 – 0)² + (4 – 0)²) = 1

3. Enfin, les coordonnées du projeté orthogonal de A sur le plan Π sont (X’, Y’) = (2, 1).

On peut vérifier que ce point est bien sur le plan Π en substituant ses coordonnées dans l’équation du plan : z = 2x + 3y – 5

z = 2(2) + 3(1) – 5 = 1

Donc, le point (2, 1, 1) est bien sur le plan Π.