Calculer Les Coordonnées D’Un Projeté Orthogonal
Salut à tous ! Aujourd’hui, je vais vous parler d’un sujet assez technique : le calcul des coordonnées d’un projeté orthogonal. C’est un concept mathématique qui peut être utile dans de nombreux domaines, comme la géométrie, la physique et l’ingénierie.
Définition
Un projeté orthogonal est une projection d’un point sur une surface ou une ligne. Dans le cas d’une projection orthogonale, le projeté est perpendiculaire à la surface ou à la ligne sur laquelle il est projeté. En d’autres termes, c’est le point le plus proche du point projeté sur la surface ou la ligne.
Formules
Les formules pour calculer les coordonnées d’un projeté orthogonal sont assez simples. Si on a un point $P$ et une surface ou une ligne $S$, alors le projeté orthogonal de $P$ sur $S$ est le point $Q$ tel que $\overrightarrow{PQ}$ est perpendiculaire à $S$. Les coordonnées de $Q$ peuvent être calculées en utilisant les équations suivantes :
- $Q_x = P_x + t(S_x – P_x)$
- $Q_y = P_y + t(S_y – P_y)$
- $Q_z = P_z + t(S_z – P_z)$
où $t$ est un paramètre qui peut être calculé en utilisant l’équation suivante :
$t = \frac{\overrightarrow{P-S} \cdot \overrightarrow{N}}{\overrightarrow{N} \cdot \overrightarrow{N}}$
où $\overrightarrow{N}$ est un vecteur normal à $S$ au point $S$.
Exemples
Voici quelques exemples de calcul de coordonnées de projetés orthogonaux :
- Le projeté orthogonal du point $P(1, 2, 3)$ sur le plan $x+y+z=6$ est le point $Q(3, 2, 1)$.
- Le projeté orthogonal du point $P(2, 3, 4)$ sur la ligne $x=y=z$ est le point $Q(2, 2, 2)$.
- Le projeté orthogonal du point $P(4, 5, 6)$ sur la surface $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ est le point $Q(0.894, 0.447, 0.077)$.
Applications
Le calcul des coordonnées de projetés orthogonaux peut être utile dans de nombreuses applications, notamment :
- La géométrie : pour déterminer l’intersection de deux surfaces ou de deux lignes.
- La physique : pour calculer la trajectoire d’un projectile ou pour déterminer le centre de masse d’un objet.
- L’ingénierie : pour concevoir des structures ou des machines.
J’espère que cet article vous a donné une meilleure compréhension du calcul des coordonnées de projetés orthogonaux. Si vous avez des questions, n’hésitez pas à les poser dans les commentaires ci-dessous.
À bientôt !
Calculer Les Coordonnées D’Un Projeté Orthogonal
Points clés :
- Projection perpendiculaire.
- Formules simples et applicables.
Ces deux points soulignent la simplicité et l’utilité du calcul des coordonnées de projetés orthogonaux.
Projection perpendiculaire.
Dans le calcul des coordonnées d’un projeté orthogonal, la notion de projection perpendiculaire est fondamentale. Cela signifie que le projeté est toujours perpendiculaire à la surface ou à la ligne sur laquelle il est projeté. Cette propriété est essentielle pour garantir que le projeté est le point le plus proche du point projeté sur la surface ou la ligne.
Pour illustrer cela, imaginons que nous ayons un point $P$ et une surface $S$. Si nous projetons $P$ sur $S$ de manière perpendiculaire, alors le projeté $Q$ sera le point le plus proche de $P$ sur $S$. En effet, si nous essayions de projeter $P$ sur $S$ selon un angle non perpendiculaire, alors le projeté $Q’$ serait plus éloigné de $P$ que $Q$.
La projection perpendiculaire est également importante pour les applications pratiques du calcul des coordonnées de projetés orthogonaux. Par exemple, dans le domaine de l’ingénierie, la projection perpendiculaire est utilisée pour concevoir des structures et des machines. En effet, il est essentiel de s’assurer que les différentes parties d’une structure ou d’une machine soient correctement alignées et perpendiculaires les unes par rapport aux autres.
En résumé, la projection perpendiculaire est un aspect fondamental du calcul des coordonnées de projetés orthogonaux. Elle garantit que le projeté est le point le plus proche du point projeté sur la surface ou la ligne, et elle est essentielle pour les applications pratiques de ce calcul.
Formules simples et applicables.
Les formules pour calculer les coordonnées d’un projeté orthogonal sont relativement simples et faciles à appliquer, ce qui en fait un outil très pratique pour de nombreuses applications.
- Formules explicites : Les formules pour calculer les coordonnées d’un projeté orthogonal sont explicites, ce qui signifie qu’elles peuvent être directement utilisées pour calculer les coordonnées du projeté sans avoir à résoudre des équations complexes.
- Peu de paramètres : Les formules ne nécessitent qu’un petit nombre de paramètres, ce qui les rend faciles à utiliser et à comprendre. Les principaux paramètres sont les coordonnées du point à projeter, les coordonnées de la surface ou de la ligne sur laquelle le point est projeté, et un vecteur normal à la surface ou à la ligne.
- Applications variées : Les formules peuvent être utilisées pour calculer les coordonnées de projetés orthogonaux dans une grande variété d’applications, notamment la géométrie, la physique et l’ingénierie.
Voici un exemple concret pour illustrer la simplicité et l’applicabilité des formules :
Supposons que nous ayons un point $P(1, 2, 3)$ et une surface $S$ définie par l’équation $x+y+z=6$. Nous voulons calculer les coordonnées du projeté orthogonal de $P$ sur $S$.
En utilisant les formules, nous pouvons calculer le vecteur normal à $S$ :
$\overrightarrow{N} = (1, 1, 1)$
Ensuite, nous pouvons calculer le paramètre $t$ :
$t = \frac{\overrightarrow{P-S} \cdot \overrightarrow{N}}{\overrightarrow{N} \cdot \overrightarrow{N}} = \frac{(1-0, 2-0, 3-6) \cdot (1, 1, 1)}{(1, 1, 1) \cdot (1, 1, 1)} = -1$
Enfin, nous pouvons calculer les coordonnées du projeté orthogonal $Q$ :
$Q_x = P_x + t(S_x – P_x) = 1 + (-1)(0-1) = 2$
$Q_y = P_y + t(S_y – P_y) = 2 + (-1)(0-2) = 4$
$Q_z = P_z + t(S_z – P_z) = 3 + (-1)(6-3) = 0$
Ainsi, le projeté orthogonal de $P$ sur $S$ est le point $Q(2, 4, 0)$.
Cet exemple montre à quel point les formules pour calculer les coordonnées de projetés orthogonaux sont simples et faciles à appliquer.
