Projeté Orthogonale D'Un Point Sur Une Droite

Projeté Orthogonale D’Un Point Sur Une Droite: Une Introduction

Le projeté orthogonal d’un point sur une droite est le point de la droite qui est le plus proche du point donné. En d’autres termes, c’est le point de la droite qui est sur la même ligne perpendiculaire au point donné.

Comment trouver le projeté orthogonal d'un point sur une droite

Pour trouver le projeté orthogonal d’un point sur une droite, vous pouvez suivre les étapes suivantes :

1. Tracez une ligne perpendiculaire à la droite donnée passant par le point donné.
2. Trouvez le point d’intersection de la ligne perpendiculaire et de la droite donnée.
3. Ce point d’intersection est le projeté orthogonal du point donné sur la droite donnée.

Propriétés du projeté orthogonal d'un point sur une droite

Le projeté orthogonal d’un point sur une droite possède les propriétés suivantes :

• Il est sur la même ligne perpendiculaire au point donné.
• Il est le point de la droite qui est le plus proche du point donné.
• La distance entre le point donné et son projeté orthogonal est égale à la distance entre le point donné et la droite donnée.

Exemples de projeté orthogonal d'un point sur une droite

Voici quelques exemples de projeté orthogonal d’un point sur une droite :

• Le projeté orthogonal du point (1, 2) sur la droite y = x est le point (2, 2).
• Le projeté orthogonal du point (2, 3) sur la droite y = -x est le point (-2, -2).
• Le projeté orthogonal du point (3, 4) sur la droite y = 2x est le point (6, 12).

Conclusion

Le projeté orthogonal d’un point sur une droite est un concept important en géométrie. Il est utilisé dans de nombreuses applications, notamment en mécanique, en physique et en architecture.

Projeté Orthogonale D’Un Point Sur Une Droite

Le projeté orthogonal d’un point sur une droite est le point de la droite qui est le plus proche du point donné.

• Ligne perpendiculaire
• Distance minimale

Ces deux points sont essentiels pour comprendre le concept du projeté orthogonal d’un point sur une droite.

Ligne perpendiculaire

Une ligne perpendiculaire est une ligne qui forme un angle droit (90 degrés) avec une autre ligne. Dans le contexte du projeté orthogonal d’un point sur une droite, la ligne perpendiculaire est la ligne qui passe par le point donné et qui est perpendiculaire à la droite donnée.

• Construction de la ligne perpendiculaire

  Pour construire la ligne perpendiculaire à une droite donnée passant par un point donné, vous pouvez suivre les étapes suivantes :

  1. Placez le point donné sur la droite donnée.
  2. Tracez une ligne passant par le point donné et perpendiculaire à la droite donnée. Pour ce faire, vous pouvez utiliser une équerre ou un rapporteur.
  3. La ligne que vous venez de tracer est la ligne perpendiculaire à la droite donnée passant par le point donné.

La ligne perpendiculaire est importante dans le calcul du projeté orthogonal d’un point sur une droite car elle permet de déterminer le point de la droite qui est le plus proche du point donné.

Distance minimale

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La distance minimale entre un point et une droite est la distance entre le point et son projeté orthogonal sur la droite. En d’autres termes, c’est la distance la plus courte entre le point et la droite.

Pour calculer la distance minimale entre un point et une droite, vous pouvez suivre les étapes suivantes :

1. Tracez la ligne perpendiculaire à la droite donnée passant par le point donné.
2. Trouvez le point d’intersection de la ligne perpendiculaire et de la droite donnée.
3. Calculez la distance entre le point donné et le point d’intersection.

La distance que vous venez de calculer est la distance minimale entre le point et la droite.

La distance minimale est importante dans le calcul du projeté orthogonal d’un point sur une droite car elle permet de déterminer le point de la droite qui est le plus proche du point donné.

Voici un exemple pour illustrer le calcul de la distance minimale entre un point et une droite :

Soit le point A(1, 2) et la droite y = 2x + 1. Pour trouver la distance minimale entre le point A et la droite, nous pouvons suivre les étapes suivantes :

1. Tracez la ligne perpendiculaire à la droite y = 2x + 1 passant par le point A(1, 2). Pour ce faire, nous pouvons utiliser l’équation de la droite perpendiculaire, qui est y = -1/2x + 3.
2. Trouvez le point d’intersection de la ligne perpendiculaire et de la droite y = 2x + 1. Pour ce faire, nous pouvons résoudre le système d’équations suivant : \begin{align*} y &= 2x + 1 \\ y &= -1/2x + 3 \end{align*} La solution de ce système d’équations est x = 1 et y = 3. Le point d’intersection est donc le point B(1, 3).
3. Calculez la distance entre le point A(1, 2) et le point B(1, 3). Pour ce faire, nous pouvons utiliser la formule de la distance entre deux points : $$d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$$ où $(x_1, y_1)$ sont les coordonnées du point A et $(x_2, y_2)$ sont les coordonnées du point B. En remplaçant les valeurs, nous obtenons : $$d = \sqrt{(1 – 1)^2 + (3 – 2)^2} = \sqrt{0 + 1} = 1$$

La distance minimale entre le point A(1, 2) et la droite y = 2x + 1 est donc de 1.