Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal sur un plan est une tâche importante en géométrie analytique. Elle permet de trouver la représentation sur un plan d’un point situé dans l’espace à trois dimensions. Cela est utile dans de nombreux domaines, tels que la géométrie, l’ingénierie et l’architecture.
1. Définition du projeté orthogonal
Le projeté orthogonal d’un point $P$ sur un plan $\Pi$ est le point $P’ \in \Pi$ tel que la droite $(PP’)$ est perpendiculaire au plan $\Pi$. En d’autres termes, c’est le point le plus proche de $P$ sur le plan $\Pi$.
2. Méthode pour déterminer les coordonnées du projeté orthogonal
Il existe plusieurs méthodes pour déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d’un point sur un plan. L’une des méthodes les plus courantes consiste à utiliser les équations paramétriques de la droite passant par le point $P$ et parallèle au plan $\Pi$.
3. Exemples
Voici quelques exemples de détermination des coordonnées du projeté orthogonal d’un point sur un plan :
**Exemple 1 :** Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal du point $P(1, 2, 3)$ sur le plan $\Pi$ d’équation $x + 2y + 3z = 4$.
**Solution :** 1. Équations paramétriques de la droite passant par $P$ et parallèle à $\Pi$ : $\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = 3 + t \end{cases}$ 2. Résoudre l’équation $x + 2y + 3z = 4$ pour obtenir l’intersection de la droite avec le plan $\Pi$ : $t = -1$. 3. Les coordonnées du projeté orthogonal sont $P’ = (1 – 1, 2 – 1, 3 – 1) = (0, 1, 2)$.
**Exemple 2 :** Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal du point $Q(-2, 3, 4)$ sur le plan $\Pi$ d’équation $2x – y + z = 5$.
**Solution :** 1. Équations paramétriques de la droite passant par $Q$ et parallèle à $\Pi$ : $\begin{cases} x = -2 + 2t \\ y = 3 – t \\ z = 4 + t \end{cases}$ 2. Résoudre l’équation $2x – y + z = 5$ pour obtenir l’intersection de la droite avec le plan $\Pi$ : $t = 3$. 3. Les coordonnées du projeté orthogonal sont $Q’ = (-2 + 2 \cdot 3, 3 – 3, 4 + 3) = (4, 0, 7)$.
**Exemple 3 :** Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal du point $R(3, -1, 2)$ sur le plan $\Pi$ d’équation $x – 2y + 3z = 6$.
**Solution :** 1. Équations paramétriques de la droite passant par $R$ et parallèle à $\Pi$ : $\begin{cases} x = 3 + t \\ y = -1 + 2t \\ z = 2 + 3t \end{cases}$ 2. Résoudre l’équation $x – 2y + 3z = 6$ pour obtenir l’intersection de la droite avec le plan $\Pi$ : $t = 1$. 3. Les coordonnées du projeté orthogonal sont $R’ = (3 + 1, -1 + 2 \cdot 1, 2 + 3 \cdot 1) = (4, 1, 5)$.
4. Applications
La détermination des coordonnées du projeté orthogonal sur un plan trouve de nombreuses applications dans divers domaines, notamment :
• Géométrie : pour étudier les propriétés des figures géométriques et leurs relations spatiales. • Ingénierie : pour concevoir des structures et des machines, et pour analyser leur comportement mécanique. • Architecture : pour concevoir des bâtiments et des espaces, et pour optimiser leur utilisation. • Graphisme : pour créer des images et des animations numériques.
Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal sur un plan est une technique importante qui permet de résoudre de nombreux problèmes géométriques et pratiques. Elle est essentielle pour comprendre et maîtriser l’espace tridimensionnel.
Déterminer Les Coordonnées Du Projeté Orthogonal Sur Un Plan
Points importants :
- Distance minimale
- Propriétés géométriques
Le projeté orthogonal est le point sur un plan qui est le plus proche d’un point donné dans l’espace. Il est utilisé pour déterminer les distances minimales entre des points et des plans, ainsi que pour étudier les propriétés géométriques des figures.
Distance minimale
En géométrie, la distance minimale entre un point et un plan est la distance entre le point et son projeté orthogonal sur le plan. Cette distance est également appelée la distance algébrique entre le point et le plan.
- Propriété 1 : La distance minimale entre un point et un plan est toujours positive ou nulle.
Cela signifie qu’un point ne peut pas être plus proche d’un plan que son projeté orthogonal sur le plan.
Propriété 2 : La distance minimale entre un point et un plan est égale à la norme du vecteur directeur de la droite passant par le point et parallèle au plan.
Cela signifie que la distance minimale peut être calculée en utilisant la formule suivante : $$d = \left\Vert \overrightarrow{PQ} \right\Vert$$ où $\overrightarrow{PQ}$ est le vecteur directeur de la droite passant par le point $P$ et parallèle au plan $\Pi$.
La distance minimale entre un point et un plan est une notion importante en géométrie analytique. Elle est utilisée pour résoudre de nombreux problèmes, tels que :
• Trouver la distance entre un point et un plan.
• Déterminer si un point est situé d’un côté ou de l’autre d’un plan.
• Classer les points par rapport à un plan.
La distance minimale entre un point et un plan est également utilisée dans de nombreuses applications pratiques, telles que :
• Ingénierie : pour concevoir des structures et des machines.
• Architecture : pour concevoir des bâtiments et des espaces.
• Graphisme : pour créer des images et des animations numériques.
La distance minimale entre un point et un plan est un outil puissant qui permet de résoudre de nombreux problèmes géométriques et pratiques.
Propriétés géométriques
Le projeté orthogonal d’un point sur un plan a de nombreuses propriétés géométriques intéressantes. Voici quelques-unes des propriétés les plus importantes :
- Propriété 1 : Le projeté orthogonal d’un point sur un plan est le point le plus proche du point sur le plan.
Cela signifie que la distance entre le point et son projeté orthogonal est la distance minimale entre le point et le plan.
Propriété 2 : Le projeté orthogonal d’un point sur un plan est situé sur la droite passant par le point et perpendiculaire au plan.
Cela signifie que le projeté orthogonal est le point d’intersection de la droite et du plan.
Propriété 3 : Si un point est situé dans un plan, alors son projeté orthogonal sur le plan est le point lui-même.
Cela signifie que le projeté orthogonal d’un point sur un plan est toujours un point du plan.
Propriété 4 : Si un point est situé d’un côté d’un plan, alors son projeté orthogonal sur le plan est situé du même côté du plan.
Cela signifie que le projeté orthogonal d’un point sur un plan ne peut pas changer de côté par rapport au plan.
Les propriétés géométriques du projeté orthogonal sont utilisées pour résoudre de nombreux problèmes de géométrie analytique et de géométrie dans l’espace. Par exemple, ces propriétés sont utilisées pour :
• Déterminer si un point est situé d’un côté ou de l’autre d’un plan.
• Classer les points par rapport à un plan.
• Trouver l’intersection d’une droite et d’un plan.
• Déterminer l’angle entre une droite et un plan.
Les propriétés géométriques du projeté orthogonal sont des outils puissants qui permettent de résoudre de nombreux problèmes géométriques.
